Родился 15 сентября 1947 года.
В 1971 году — окончил лечебный факультет Алтайского государственного медицинского института, затем 2 года служил в Советской Армии.
С 1973 года — работает в санаторно-курортной отрасли Краснодарского края.
С 1973 по 1977 г. трудился в санатории «Юг» (Сочи): сначала врачом-ординатором, затем заместителем главного врача по медицинской части; с 1977 по 1992 г. — в системе МВД: сначала заместителем начальника по медицинской части санатория «Салют», затем начальником санатория «Искра» (оба — Сочи); с 1992 по 2011 г. был начальником ФГУ «Центральный клинический санаторий им. Ф.Э. Дзержинского ФСБ России» (Сочи).
За время работы в санаторно-курортных учреждениях Анатолий Тимофеевич зарекомендовал себя инициативным руководителем. Его всегда отличают стремление к поиску неординарных решений и способность брать на себя ответственность за их реализацию, трудолюбие и творческий подход к возложенным на него обязанностям. Применение инновационных технологий, экономических методов управления и приоритетное решение социально значимых проблем в возглавляемых им коллективах всегда приводило к реализации программ их социально-экономического развития, обеспечению круглогодичного стабильного функционирования учреждений и социальной защищенности персонала.
Так, в санатории «Искра» были построены современный лечебно-диагностический корпус и киноконцертный зал. Кроме того, был построен 100-квартирный жилой дом для сотрудников санатория. В санатории им. Ф.Э. Дзержинского проведена значительная работа по модернизации инфраструктуры, капитальному ремонту зданий и сооружений, строительству новых объектов, были открыты филиалы санатория и созданы условия обслуживания отдыхающих, соответствующие мировым стандартам. Конечный результат указанных преобразований — увеличение коечной емкости здравницы с 300 до 1036 мест и балансовой стоимости основных средств с 380 до 3400 млн рублей. Дополнительно создано более 350 рабочих мест, за счет участия в долевом строительстве жилья для сотрудников было получено и распределено 57 квартир.
Объекты санатория одни из первых на курорте Сочи прошли федеральную государственную сертификацию средств размещения и получили сертификаты соответствия следующих категорий: «три звезды», «четыре звезды» и «пять звезд». Наряду с этим по инициативе А.Т. Быкова в санатории была сформирована научная база и постоянно осуществлялась целевая профессиональная подготовка кадрового состава по системе непрерывного образования. В результате в санатории работали свыше 400 человек с высшим образованием, 11 кандидатов и 8 докторов медицинских наук, 114 медицинских работников с первой и высшей квалификационными категориями.
В 1993 г. на базе санатория им. Ф.Э. Дзержинского была открыта кафедра восстановительной медицины, курортологии и физиотерапии (ныне кафедра восстановительной медицины, физиотерапии, мануальной терапии, лечебной физической культуры и спортивной медицины) факультета повышения квалификации и последипломной переподготовки специалистов Кубанского государственного медицинского университета, которую в настоящее время и возглавляет Анатолий Тимофеевич. На сегодняшний день на кафедре работают 1 кандидат и 5 докторов медицинских наук, среди них 1 член-корреспондент РАН, 4 человека имеют ученое звание профессора, 1 — ученое звание доцента.
Приоритетные направления научной и образовательной деятельности А.Т. Быкова: проблемы профилактики социально значимых хронических неинфекционных заболеваний, оценка резервов здоровья, выявление ранних доклинических признаков формирующейся патологии, разработка эффективных программ укрепления здоровья и повышения устойчивости организма человека к воздействию неблагоприятных факторов среды с преимущественным использованием целебных природных, климатических и бальнеологических факторов курортов Краснодарского края, в частности Сочи.
Научные исследования А.Т. Быкова и разработанная им система восстановления адаптационных резервов и повышения устойчивости организма к факторам, детерминирующим здоровье, явились существенным вкладом в научную работу коллектива авторов, отмеченную премией Правительства Российской Федерации в 1998 г. в области науки и техники. По существу, санаторий им. Ф.Э. Дзержинского стал научно-методическим центром в области восстановительной медицины и санаторно-курортного дела не только в Сочи, но и в России в целом, а также лидером в реализации современных технологий сохранения и восстановления здоровья граждан России.
Впервые в биомедицине под руководством А.Т. Быкова изобретен и запатентован аппаратно-программный комплекс моделирования природных магнитных бурь и создана система защиты пациентов от их воздействия, что внесло существенный вклад в профилактику осложнений хронических заболеваний, вызванных геомагнитными бурями.
А.Т. Быков является членом ученого совета ФГБОУ ВО КубГМУ Минздрава России, редакционного совета журналов «Вопросы курортологии, физиотерапии и лечебной физической культуры», «Вестник восстановительной медицины», «Лечебное питание», «Экология человека», «Вестник реабилитологии». А.Т. Быков — автор 347 научных работ, в том числе 15 монографий, 3 патентов Российской Федерации на изобретения и многочисленных статей в научных журналах, индексируемых в базе данных Scopus и включенных в Перечень ведущих периодических изданий Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки Российской Федерации. Под его научным руководством и консультированием защищено 22 кандидатских и 13 докторских диссертаций.
Анатолий Тимофеевич принимает активное участие в общественной жизни курорта, является членом президиума Краснодарской краевой общественной организации «Герои Отечества», советником главы Сочи по развитию санаторно-курортного комплекса и здравоохранения, членом экспертного совета Комитета по здравоохранению Государственной думы Российской Федерации и попечительского совета ФГБОУ ВО «Сочинский государственный университет» Министерства образования и науки.
А.Т. Быков — лауреат премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники (1998 г.), премии администрации Краснодарского края в области науки (2014 г.), награжден орденом Почета (1999 г.), медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени (2005 г.), медалью «Герой труда Кубани» (2007 г.).